Problema dos nadadores (2)

Dois nadadores, partindo simultaneamente de bordas opostas de uma piscina, nadam com velocidades constantes durante 12 minutos, em raias distintas. Um deles vai de uma borda à outra em 45s e o outro em 30s e não perdem tempo algum nas viradas.
Quantas vezes eles se encontrarão (lado a lado) durante esse tempo?

Veja uma simulação da situação no applet abaixo:

Solução do problema:

Considerando-se os tempos que cada nadador leva para percorrer a piscina de borda a borda, podemos concluir que, enquanto o mais lento percorre duas unidades de comprimento, o mais rápido percorre três.
Vamos, então, dividir o comprimento da piscina em 5 partes iguais. 
Podemos notar que o primeiro encontro se dará no segundo quinto para o nadador mais lento. Portanto, o primeiro encontro se dará aos 9 + 9 = 18 segundos (equivalente a 6 + 6 + 6 para o nadador mais rápido).
O segundo encontro se dará depois que o nadador mais lento percorrer mais 4 quintos e o mais rápido mais 6 quintos. Isso dará um tempo de 9 + 9 + 9 + 9 ou 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 36 segundos após o primeiro encontro.
Os próximos encontros se darão sempre a intervalos de 36 segundos um do outro, como mostra a figura abaixo:

 Então, os instantes em que ocorrem os encontros vão formar uma PA (18, 54, 90, 126, ...) de razão 36.
O termo geral dessa PA é dado por  
$$a_{n}=18+(n-1). 36=36n-18$$
Para sabermos o número de encontros ocorridos até os 12 minutos = 720s , basta calcular o número n de termos para que  $a_{n}\leqslant 720$
$$36n-18\leq 720\Rightarrow 36n\leq 738\Rightarrow n\leq 20,5\Rightarrow n=20$$

Resposta: vão ocorrer 20 encontros dos nadadores

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