Problema de distância mínima

Os pontos A e B, situados em lados opostos de um rio, deverão ser ligados por estradas retilíneas AP e QB e uma ponte PQ, perpendicular às margens, como mostra a figura abaixo. (movimente o ponto P)
 
Descubra a localização exata da ponte para que a distância percorrida para se ir de A até B por essa estrada seja a mínima possível. Considere cada quadrícula com 10 metros de lado.

Solução do problema:

Como a largura do rio é constante, o comprimento da ponte (PQ) será sempre igual a 20 m. Vamos eliminar, então, toda a faixa correspondente ao rio.
Dessa forma, o ponto Q vai coincidir com P, o ponto B vai subir 20 m e a figura vai ficar assim:

Para que a distância AP + PB seja mínima, os pontos A, P e B deverão estar alinhados e o cálculo poderá ser feito pelo teorema de Pitágoras:

Adicionando-se a largura do rio, que é de 20 m, teremos a distância mínima de 150 metros.

Para calcularmos a posição exata da ponte, vamos usar semelhança de triângulos:

A situação final do problema pode ser vista na figura abaixo:

----o----