Problema: Uma mesa de bilhar medindo 15dm por 24dm possui somente 4 caçapas, situadas nos cantos A, B, C e D. Uma bola é lançada, a partir de A, na direção indicada na figura e só vai parar quando cair em alguma caçapa, após uma série de reflexões nas bordas, sempre com ângulo de 45°.
Pergunta-se: 1) Qual o número de quadradinhos unitários atravessados pela bola até cair na caçapa? 2) Qual a distância total percorrida pela bola até cair na caçapa? 3) Em qual caçapa a bola vai cair?
Solução do problema:
Inicialmente vamos anotar, numa tabela, os números de quadrinhos unitários atravessados pela bola ao bater numa borda horizontal (H) ou numa borda vertical (V):
Observamos que os números na linha H são os múltiplos de 15, enquanto que os números na linha V são os múltiplos de 24. Como uma caçapa está situada simultaneamente numa borda horizontal (H) e numa borda vertical (V), podemos concluir que a bola estará numa caçapa pela primeira vez quando o número de quadradinhos atravessados por ela for o menor múltiplo comum a 15 e 24, isto é: MMC(15,24) = 120. Então, a resposta da pergunta 1 é que a bola vai atravessar 120 quadradinhos unitários até cair numa caçapa.
Para responder a pergunta 2, basta lembrar que a diagonal de um quadrado de lado 1 é igual a $\sqrt{2}$. Então, a distância total percorrida pela bola até cair numa caçapa será $120\sqrt{2}$ dm.
Para responder a pergunta 3, basta observarmos que, após 120 quadradinhos atravessados, a bola bateu em $120÷15 = 8$ bordas horizontais e, portanto, a caçapa deve estar na borda $\overline{AB}$. Também bateu em $120÷24 = 5$ bordas verticais e, portanto, a caçapa deve estar na borda $\overline{BC}$.
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