Razão Áurea

Antes de resolvermos alguns problemas sobre razão áurea, vamos compreender o seu significado.

Considere dois segmentos de comprimentos x e y, com x > y.

Dizemos que esses segmentos estão numa razão áurea se a razão entre x e y for igual à razão entre y e x-y, isto é, se a razão entre o maior e o menor for igual à razão entre o menor e a diferença entre eles.
O applet abaixo mostra a construção de um retângulo áureo e o cálculo do valor da razão áurea:




Problema 1        

Prove que a razão entre a medida da diagonal de um pentágono regular e a medida do seu lado é a razão áurea (ϕ)





Problema 2        

Prove que, na sequência de polígonos regulares abaixo, a razão entre as medidas dos segmentos AB e BC é a razão áurea (ϕ)




Problema 3        

Prove que, na sequência de quadrados abaixo, a razão entre as medidas dos segmentos azul e vermelho é a razão áurea (ϕ)





Problema 4        

Prove que, no conjunto de círculos abaixo, a razão entre as medidas EG e EF é a razão áurea (ϕ)





Problema 5       

Prove que a condição para que as partes do quadrado preencham exatamente o retângulo é que a razão entre as medidas x e y seja a razão áurea (ϕ).

Mova o ponto P para verificar esse fato e ver a demonstração.



Um fato curioso que advém do problema anterior é que, se fizermos y = 5 , o valor de x será 8,09, que é bem próximo de 8.
Então, se construirmos as figuras com as medidas x = 8 e y = 5 , teremos a impressão visual de que o retângulo foi coberto exatamente pelas peças do quadrado.
Daí surge um paradoxo interessante, conhecido como Paradoxo de Curry, em que a área do quadrado é igual a 169 e a área do retângulo é igual a 168, mas deveriam ser iguais!