Problemas resolvidos com números complexos

Introdução:

Muitos problemas de geometria plana podem ser resolvidos facilmente com a aplicação dos números complexos. Esses números podem ser interpretados como pares ordenados de números reais e suas representações geométricas são pontos do plano ou vetores no plano.
Para a maioria dos problemas, podemos usar três transformações planas realizadas através dos números complexos (ou vetores do plano): a translação, a rotação e a homotetia.
Os applets que se seguem mostram suas utilizações:

Translação de ponto: realizada quando somamos ao ponto um número complexo (ou vetor)

 (mova a extremidade do vetor v)


Rotação de ponto no sentido anti-horário em torno da origem: realizada quando multiplicamos um ponto (ou vetor) por um número complexo.

(modifique o valor do ângulo ou mova o ponto A)


Homotetia: realizada quando multiplicamos um ponto (ou vetor) por um número real não nulo.

(modifique o número real ou mova o ponto A)

Em alguns problemas temos que usar uma ou mais dessas transformações combinadas.



Problema 1

Considere um triângulo qualquer ABC. Construa, para fora, os triângulos iso-retângulos BCP e ACQ. Seja M o ponto médio de AB.

Prove que o triângulo PMQ também é iso-retângulo, de hipotenusa PQ.

Solução:

Tomemos a origem O coincidindo com M.
Lembremos que um vetor multiplicado pelo complexo (cos 90° + i.sen 90°) = i , gira 90° no sentido anti-horário em torno da origem O.

B = P + (C - P).i                                          C = Q + (A - Q).i                            B = -A

-A = P + i.(Q + A.i - Q.i - P)

-A = P + Q.i - A + Q - P.i

Q.(1 + i) = P.(i - 1)

Q = P . (i - 1)/(1 + i)

Q = P . i      ou seja, Q é a rotação de P em torno de M, de um ângulo de 90° anti-horário, o que prova que MQ = MP e que o ângulo PMQ é reto.

Problema 2

Na figura abaixo, os triângulos ABC e CDE são equiláteros e BCDF é um paralelogramo.

Prove que o triângulo AEF é equilátero.

Solução:

Tomemos a origem O coincidindo com A.
Lembremos que um vetor multiplicado pelo complexo Z = (cos 60° + i. sen 60°) gira 60° no sentido anti-horário em torno da origem O.
Então:     A = O          C = Z.B           E = C + Z.(D - C)            F = B + D - C

Z. F = Z.(B + D - C) = Z.B + Z.(D - C) = Z.B + E - C = C + E - C = E
Portanto, E é a rotação de F de um ângulo de 60° anti-horário em torno de A, que prova que o triângulo AEF é equilátero.

Problema 3

Seja ABC um triângulo qualquer. Construímos os triângulos equiláteros BCE e ACF "para fora" e o triângulo equilátero ABD "para dentro" do triângulo ABC.

               
Prove que o quadrilátero CEDF é um paralelogramo.

Solução:

Tomemos a origem O coincidindo com A.
Lembremos que um vetor multiplicado pelo complexo Z = (cos 60° + i. sen 60°) gira 60° no sentido anti-horário em torno da origem O.
Então:     A = O          D = Z.B           E = C + Z.(B - C)            F = Z . C

C - F = C - Z . C        (1)                  E - D = C + Z . B - Z . C - Z . B  =  C - Z . C         (2)

De (1) e (2)  concluímos que C - F = E - D  e, portanto, CEDF é um paralelogramo.

Problema 4

Sejam ABC e ADE triângulos iso-retângulos. Seja M o ponto médio de CD.

             
Prove que EB = 2 . AM  e que EB é ortogonal a AB.

Solução:

Tomamos a origem O coincidindo com A e construímos o paralelogramo AEBF, onde N é o ponto médio de AF.

Lembremos que um vetor multiplicado pelo complexo i = (cos 90° + i. sen 90°) gira 90° no sentido anti-horário em torno da origem O.

Então:     A = O  ;  C = B.i  ;  E = D.i  ;  M = (C+D)/2  ;  F = B + A - E = B - E  ;  N = F/2 = (B-E)/2

N.i = (B-E) . i/2 = (B.i - E.i)/2 = (C - E.i)/2 = (C - D.i.i)/2 = (C + D)/2 = M

Portanto, M é a rotação de N por um ângulo de 90° em torno da origem, no sentido anti-horário, o que prova que AM é ortogonal a AF (paralelo a EB) e mede a metade de AF (que é igual a EB).

Problema 5

Seja ABC um triângulo qualquer. Construímos os triângulos equiláteros BCP, ACQ e ABR "para fora" do triângulo ABC. Sejam M e N os pontos médios de PR e QR, respectivamente.

             
Prove que o triângulo CMN é equilátero.

Solução:

Problema 6

Sejam os triângulos equiláteros ABC e CDE e os paralelogramos BCDG e ACEF. Sejam M e N os pontos médios de AB e DE, respectivamente.

             
Prove que MN e FG são perpendiculares e calcule a razão entre FG e MN.

Solução: